آموزش جادویی مشتق - 44

قضیه رل یا قضیه میانگین متغیر واقعی یک قضیه مهم در آنالیز ریاضی است. این قضیه به وسیله تابع مشتق‌پذیر در نقطه واقعی بیان می‌شود و معتبریت آن بر اساس فرض‌های خاصی استوار است. قضیه رل به شکل کلی به این صورت بیان می‌شود: فرض کنید تابع f در بازه بسته [a, b] مشتق‌پذیر باشد و در انتهای این بازه‌ها نیز پیوسته باشد. در این صورت، وجود حدی c در بازه (a, b) وجود دارد به طوری که: f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) به عبارت دیگر، میانگین نرخ تغییر تابع در بازه [a, b] برابر با نرخ تغییر ارزش تابع در یک نقطه داخلی این بازه است. در واقع، قضیه رل نشان می‌دهد که در یک تابع مشتق‌پذیر، حداقل یک نقطه وجود دارد که در آن نرخ تغییر تابع برابر با میانگین نرخ تغییر ارزش تابع بین دو انتهای بازه است. این قضیه در بسیاری از بحث‌ها و برنامه‌های ریاضی و فیزیکی کاربرد دارد. برای مثال، از قضیه رل می‌توان در استنتاج‌های مربوط به حرکت و سرعت، بهینه‌سازی و تحلیل توابع استفاده کرد. همچنین در حساب احتمال و آمار نیز می‌توان از این قضیه استفاده کرد. لازم به ذکر است که برای اعمال قضیه رل، شرایط و فرض‌های مشخصی باید برقرار باشد، از جمله مشتق‌پذیری تابع و پیوستگی آن در بازه مورد نظر.